平面铰链四杆机构连杆平面上的运动瞬心线期 楼进 平面铰链四杆机构连杆平面上的 运动瞬心线 (上捧海运学院 鱼亡 上海2001S5) 擒蔓推尊了平翁饺链四扦机构连杆平面上的动瞬心线方程和同一条连杆曲 蟪产生两个,三个尖点时,机构参数所应满足的解析关系式.指出满足Grasbot ^条件的机构的同一条连杆曲线上,最多只能产生两个尖点. r,煳 . 璎堑丝奁中睛TH112 引言 平面铰链四轩机构连杆曲线的性态研究,是进行机构轨迹综合的基础.连杆平面上的动瞬 心线,是划分具有节点的连杆曲线区域和具有孤立点的连杆由线区域的曲线[.连杆平面动 瞬心线上的点,引导具有尖点的连杆由线.平面铰链四杆机构连杆平面上动瞬心线的研究,对 于连杆曲线性态的研究,具有很大的帮助. RudolfBeget[?]论述了用几何法求解同一条连杆曲线上产生两个和三个尖点的平面铰链四 杆机扮的的方法.本文在推导连杆平面动瞬心线方程的同时,导出了同一条连杆曲线上产生两 个和三个尖点时.机构参数应该满足的解析关系式.指出满足Grashof条件的平面铰链四杆机 构,同一条连杆曲线上,最多只能产生两个尖点. 本文导出的平面铰链四杆机构连杆平面上动瞬心线的极坐标方程,对曲线的分析与研究, 较直角坐标方程方便. 1连杆曲线的尖点 平面铰链四杆机构如图I所示,设i=r,i=c,百瓦=s,石:=p,一AC=b,/AO.Ol=∞, cAB—a,BAD=c,AD//otO连杆平面上C点轨迹的参效方程为 =r∞舢+bco~(a+)(1) =r矾≈+抽如+(2) 令,=(曲/∞)+(dy/d~)0(3) 得一rz$in2[~一+)]+{w/d=)+r∞[∞一(a+)]).(4) 在*的(0,如)周期内.x,Y是的单值,连续函效.曲线的奇点条件,就是由线非自交点的 重点条件,即尖点条件.由线产生奇点的条件为dx/d~=0与dy/d=0.亦即F=0.出式(d)可 知,连杆曲线产生尖点的条件为机构参数应同时满足 蝮羲B朔19曰5—0卜一o8 楼进等平面饺链四杆机构连杆平面上的运动嚼心线? sin[一+)];o b(却珊)+r∞[一+)]=o 即一(d+)= 6(却/如)+(--1)I?r=0 式中,R=k,士1,士2,… (5) (6) (7) (8) 又由四轩机构O-ABO:(图1)可褥 r∞+婶一cDs(一)一A(9) 式中.A=(c+P.+一--s*)/2, 式(9)对求导,化简得 如/∞=(r/c)?[(c嘲(一)一)/(r.(一)+冲)](10) 若rsin(o--~)q-psin~=0,可得AB与1302共线.这样,有可能导致连杆曲线产生尖点的点 为A点. 当k=0,士2,…,时,由式(7)～(10)可得 ,[c(c+rco~a)一6+cc0姐)]=cs[一t.一6(f+c∞∞)](11) c(c+rcDsd)一b(T+c∞蹦)]∞8=c(Aoosa+or)一6(一c2口+crcosa)(12) 由式(1】),(12)消去sinc~,cos∞,化倚耨 {r(一cz)一一)+肯(+一一r)co~a+(一r)∞)?一2{r+ cEf(c.+一A.]coaa+c.r(一c2一r.)co~a一r.cDsⅡ)?6+[c2(一一)一(一r.).] 一 2c3r一)∞+c.r(一c2)cDⅡ一003) 同理,当k=土J,土3,…,可得 {r0(一c土)一(一c0)一【丁0+一一c一r)co*a+c土(一r0)c∞)+2{c土r一 c[,土(c土+r.)一arizona+f(一c土一t.)co~a+t.(c0s口)6+c土[c土(一t.)一(一t.).] +2cr一)cDsd+c2r0(一c0)coda=0(1d) 联立式(13),(1d),可得同一条连杆曲线个尖点时,机构参数之问应该满足 的函数关系.由式(J3),(¨)又可得 6[c土一一p.一c土+c土(一c土)cⅡ+A]一c(c土一一)(一A)co,va=0(】5) 这样,同一条连杆曲线个尖点时,机构参数之问应该满足的函数关系式又可 为式(13)与(】5),或式(14)与(15). 当四杆机构的参数和角给定时,式(13)(1d)中的b值可能有两个实数解.一解对应于 四杆机构OABO2,另一解对应于由于装配方式不同的另一个四杆机构0AB02(图l虚线)无实数解,表示连杆曲线不产生尖点. 当四杆机构的参数j茼足Grashof条件时,分别由四杆机构OABO2,OtABOl连杆平面上 的C点绘出两条不同的连杆曲线)内,OA与AC拉直或重叠成直线)中,R取奇,偶数备为一次.因此,当四杆机构的参数满足Grasho~条件时, 同一条平面铰链四杆机构的连杆曲线产生的尖点的数目不多于两个. 当四杆机构的参数不满足Grashof条件时,相同机构参数而不同装配方式的平面铰链四 杆机构连杆平面上的C点,绘出同一条迎杆曲线此时,在机构运动的一个周期内,OA与AC 拉直或重叠成直线)中^取奇或偶数有可能为二攻,对应于式(13) 的两个解或式(1d)的两个解这时,同一条进船曲线一c产生的尖点数有可能超过二个因为平 面铰链四杆机构连杆曲线的两重点敬目最多不超三个,所以同一条连杆曲线期 目也不可能超过三个.当同一条连杆曲线上产生三个尖点时,机构各参数除应满足前述的函数 关系之外,还必须使式(13)或(¨)产生重根. 侧如对于参数r=1,p=s=c=2的曲柄摇杆机构,由式(15)得同一条连扦曲线产生两个尖 点时的关系式为b—do∞q.把此关系式代入式(13)或(14),解得=3.6056,口一士25.6589. 这就是上述四杆机构当同一条连杆曲线产生两个尖点时,机构参数所应满足的条件.由于四杆 机构满足Ore.shot条件b=3.6056,d一25.6589.对应于四杆机构OlABO2Ib=3.6056,口=一 25.6589对应于四杆机构OlABO2. 2连杆平面上的动瞬心线)可知,当C点连杆曲线产生尖点时.构件OA与连杆平面上的线段AC处于同一 条直线上.同理,若以OzB为主动件,当C点连杆曲线产生尖点时.可以碍出OtB与BC共线. 这也说明,当连杆曲线产生尖点时,在尖点处,连扦平面的瞬时转动中心与其轨迹点重台.连杆 平面上这些轨迹点的集合,就是平面铰链四杆机构连杆平面上的动瞬心线.当四杆机构的参数 (r,s,P,c)给定时,式(13),(14)eP为以b,口为变量的连杆平面上动瞬心线的掇坐标方程. 令x=bo0sa,y=bsLqa,就可把式(j3)的极坐标方程转化为以A点为坐标原点,AB为 x轴的直角坐标系的代数曲线阶代数方程,并且对称于x 轴.这就是平面铰链四杆机构连杆平面上的动瞬心线的代数曲线方程. ([一(,一c1)一一c1).]0+,.)+c.(一rz).+,)+2[.一 ,土(-t一一)]0+)+c[(一一)一(一一)]0+,)+2czr==+c.( 一 ))一0.+.)[cTz(-I-r一一)0.+,)+2drsz(=+,.)十 2czr=(,一一一)+2Prz(^一)]一0(16) 比较式(13)与(1d)可以发现,用(+),(c—b)取代式(14)中的口,b,可褥与式(13)完全一 致的方程式.而点(Ⅱ十口,--b)与点(q)在极坐标平面上表示同一点.因此,式(13)与(14)描绘 了相同的曲线,只是两式中,相同n角所对应的点.位于不同的曲线段上.把式(¨)转化为直角 坐标系的代数曲线)相同. 由于四杆机构OtABOt也可由四杆机构OtA]30:通过O-Oz连线的轴对称变换而得,而 式(13),(1d)又对称子口角.所以,Ib)与(一q,b)分别为由相同机构参数.而不同安装的四杆 机构的曲线),(JO)可知,当k取0时,对于相同的口角不同安装的四扦机构(O-ABO: O-ABO2),可以得到不同的dm/do~值,从而由式(8)得到不同的b值.可以证明,舍有曲柄的 机构.在口的(O,Ⅱ)区问内,由四杆机构O-ABO:决定的dd∞小于由四杆机构O-ABOl决定 的d,d∞.而在口的(n,2)区问内,正好相反.因此.对于式(13),当a∈(o,Ⅱ)时,b的两个根, 大值与四杆机构OlABO=相对应,小值与四杆机构OlABO2相对应.当口∈(,2Ⅱ)时.正好相 反.把式(13)变换为 一 ,1(a)]:一,2(a)]=0(17) 假定bb2.这样,满足Grashof条件的四杆机构,其连杆平面上的动瞬心线(Ⅱ)(O,)…, I:(a)(,2)¨ f一,l(a)(0,)…, I:,l(a)(,2)u , 樱进等平面铰链四杆机构连杆平面上的运动瞬心线)是四杆机构OIABO=连杆平面上的动瞬心线)是四杆机构OIABOt连 杆平面上的动瞬心线d)也可得劐类似的结果. 图2a为图2b所示尺寸的曲柄摇 杆机构连杆平面上的动瞬心线.当 ∈(O-)时,式(13)b根的大值与小值 分别对应于实线)b 根的大值与小值分别对应于实线)b根的 大值与小值分别对应于虚线)b根的大值与小值分别对应 于虚线)组 , 一 \,口h ,, f 图2 (b) 成四杆机构OtABO~连杆平面上的动瞬心缋;虚线)组成四杆机构O.ABO{连杆平 面上的动瞬心线)表示的平面铰链四杆机构 连杆平面上的动瞬心线相交于点M,点同时满足式(13)与式(14),它是四杆 机构O~ABOt连杆平面上产生带两个尖点的连杆曲线的点.虽然两实线d)求褥t但它们在式(13)或式(1d)中,处于不同的a区间内.同样,虚线,d相交于点M , 点M是四杆机构OIABOz连杆平面上产生带两个尖点的连杆曲线的点.由此可见,满 足Grashof条件的四杆机构,其连杆平面上的动瞬心线由两部分组成(实线与虚线,d), 它们分别对应于两个机构参数相同丽装配条件不同的四杆机构. 图3a为图3b所示尺寸的双 播杆机构连杆平面上的动瞬心 线.它由四部份组成,即图中曲线,d.曲线,d的双点划线部 分,表示由于图幅的关系.曲线不 能在图中表示出来,作为曲线变 化的示意状况.如果把曲线 看作为在无穷远处连续的曲线, 鄢么每条曲线都起讫于连杆的两 个端点,且对应于双摇杆机构的 一 个运动区域.图4表示了这些 运动区域的起讫位置.当机构的 , -/: , \. ～一.. . 图3(b) 摇杆O)A,O顺时针从图4a运动到图4b时,连杆平面上的速度瞬心沿实线,从A运动到B. 当OA继续顺时针运动,而O,B逆时针运动到图4c时,连杆平面上的速度瞬心捂实线,从B 运动至无穷远处,再从无穷远处运动到A.此时机构的B点也为B点.当机构从图4(c)运动 到(d),再从(d)运动到(a)时,连杆平面上的速度瞬心沿虚线d.从A到B;然后捂虚线,从B 至无穷远处,再从无穷远处到A.因此,双摇杆机构连杆平~IVj动瞬心线也可看作为由两部 分组成(实线与虚线.d).它们分别对应于四杆机钶O~ABO与四杆机构OABO:.与图 2的情况不同?图3实线与虚线,宾线与虚线,虚线与d在丑点连 续,可导. ?10?机械科学与技术)1995年第4期 图3中的点划线,是曲线,d分别在连杆端点A,B处的切线表示了切线与x轴的 交角B,,B.的意义.图3中任意两条曲线的交点,都是连杆平面上导致同一条连杆曲线产生两 十尖点的点.M,M3可通过联立式(13),(14)解得.Mz是曲线)的两解分男廿对应于曲线)产生重根的条件求得.在这种情 况下,利用式(13)求解动瞬心线.一是产生M:时 的a值),式(13)b根的大值,小值分别对应于实线i,虚线;a∈(,一B),式(13)b值的大 值,小值分别对应于虚线)b根的大值,小值分别对应于 虚线)b根的大值,小值分别对应于实线)进行 分析.也可获得类似的结果. B 当每半平面中的三条曲线(曲线或曲线)相交于同一点时,即M,,,M3或 M.,M:,M,相重台,连杆平面上的该点导致同一条连杆曲线产生三个尖点.由于每半平 面只有三条曲线.除了两连杆端点外.不可能有一点能成为四条曲线的交点即同一条连杆曲 线.不可产生四个尖点.图示双摇杆机构的动瞬心线有六个交点,这说明在其连杆平面上有六 十导致同一条连杆曲线产生两个尖点的点.但若仅按某种装配条件运动,如四杆机构01AB02 或0,AB02.其动瞬心线的交点只有一个.即M或M,其余的交点均为四杆机构O1ABOz 与O,ABO:动瞬心线的交点这说明,若仅按某一种装配条件运动,连杆平面上只能找到一 点,它产生的连杆曲线的情况相一致 参考文献 1C铂]R贝伊尔着,拣兆雄译.机构运动学综合.北京:机械工业出版杜-1987 2LHain.AngowandtcOcD-icbclchm.VD1--Vcorlag.Diisscldorf,1961. TheMovingCentrcdeofPlanarFour-barLinkages LouJinFanGuangzhou (ShanshviInstituteofSeaTransportation,Shanghai200135) Abstrad:Theequationofthelnovillgcent.rodeofplanarfour—barllnkagcsandther~lafionshlpamong the1)aralllctcrsofthelinkagewhentwoorthroeCUSpSappearinthesafDccouplercurve?areoh- ed.mthispaper.Moreover.itpointsoutthatthecouplerCtlrveoftheGrRshoflinkagescannot havelnorethantwocusps. Keywords:Planarfour—barlinkageMuviIgccntrod~CouplerCUrVeCusp

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